γραμμική διαφορική εξίσωση

Διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της εμφανίζονται μόνο στον πρώτο βαθμό. Σε κάθε άλλη περίπτωση, η διαφορική εξίσωση ονομάζεται μη γραμμική. Η γενική μορφή της γ.δ.ε. είναι: y⁽ⁿ⁾ + e₁(x)y^(n-1) + e₂(x)y^(n-2),..., + e_n(x)y = f(x), όπου e₁(x), e₂(x), ..., e_n(x) οι συντελεστές, y = y(x) η άγνωστη συνάρτηση y⁽ⁿ⁾, y^(n-1),..., y οι παράγωγοί της και f(x) μία δοσμένη συνάρτηση. Η τάξη μίας γ.δ.ε. είναι η τάξη της ανώτερης παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Έτσι, η παραπάνω γ.δ.ε. είναι τάξης n. Αν f(x) = 0, τότε η εξίσωση ονομάζεται ομογενής, αλλιώς μη ομογενής. Η γενική λύση μιας ομογενούς γ.δ.ε. με συνεχείς συντελεστές e_n(x) έχει τη μορφή: y₀ = c₁y₁(x) + c₂y₂(x) + ... + c_ny_n(x), όπου c₁, c₂, ..., c_n αυθαίρετες σταθερές και y₁(x), …y_n(x) γραμμικά ανεξάρτητες μερικές της λύσεις. Η γενική λύση της μη ομογενούς γ.δ.ε. έχει τη μορφή: y = y₀ + , όπου y = y0(x) η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς γ.δ.ε. και y = (x) μία μερική λύση της δοσμένης μη ομογενούς γ.δ.ε. Μία γ.δ.ε. της μορφής y’(x) + f’(x)y(x) = g(x), όπου f,g συνεχείς συναρτήσεις, ονομάζεται γ.δ.ε. πρώτης τάξης. Η λύση της γ.δ.ε. πρώτης τάξης δίνεται από τη σχέση y(xe^-∫f(x)dx {c+∫g(x) e^-∫f(x)dx}, c:σταθερά.